Wednesday, December 12, 2018

求解三对角矩阵线性方程组







求解三对角矩阵线性方程组
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by Kailai Zhang

问题描述

三对角矩阵是指除主对角线和其相邻的上下两条对角线之外,其他所有元素都为0的矩阵。
本次实验给定一个三对角矩阵A和右端矩阵B,求解矩阵方程AX=B。
可以认为B=[b1,b2,…,bn]为一些列向量的组合,从而解出的矩阵X=[x1,x2,…,xn]为一些解向量的组合。
本次实验给出的矩阵A均为三对角非奇异方阵,解的准确程度由残差值 ||Axi - bi||2给出,这里i从1到n,要求对所有i,残差值都小于 0.1。

输出格式

输出一共为n行,每行m个浮点数,依次表示X矩阵从第1列到第n列的m个元素的值。
根据以上定义,输出的每一行必须满足对应的残差值小于0.1。

输入样例






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5 2 \\表示A为5乘5的矩阵,B为5乘2的矩阵
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 \\表示主对角线上的五个数
1.0 1.0 1.0 1.0 \\表示主对角线上方对角线的四个数
6.0 5.0 4.0 3.0 \\表示主对角线下方对角线的四个数
3.0 13.0 23.0 33.0 37.0 \\表示B的第一列的值
2.0 9.0 9.0 9.0 8.0 \\表示B的第二列的值

输出样例






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1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 \\表示X矩阵第一列的值
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 \\表示X矩阵第二列的值

提示

输出结果并不唯一,只需要使X矩阵的所有列都满足残差小于0.1即可。
C++默认的输出精度可能不满足残差要求,同学们需要显式提高输出精度。

我写的代码

算法参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Tridiagonal_matrix
跟着算法写就可以了, 最后提高下输出位数





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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    double a[n+2], b[n+2], c[n+2], d[n+2], x[n+2];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> b[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n-1; ++i) {
        cin >> c[i];
    }
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }

    // calc c'[i]
    c[1] /= b[1];
    for (int i = 2; i <= n-1; ++i) {
        c[i] /= (b[i] - a[i]*c[i-1]);
    }

    for (int j = 0; j < m; ++j) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cin >> d[i];
        }

        // calc d'[i]
        d[1] /= b[1];
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            d[i] = (d[i] - a[i]*d[i-1]) / (b[i] - a[i]*c[i-1]);
        }

        // calc x[i]
        x[n] = d[n];
        for (int i = n-1; i >= 1; --i) {
            x[i] = d[i] - c[i]*x[i+1];
        }

        // print
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cout << fixed << setprecision(50)
                 << x[i] << " ";
        }
        cout << endl;

    }

    return 0;
}

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